Дифференциально-разностный метод для решения неоднородного параболического уравнения при граничных условиях второго рода
Аннотация
Предложен алгоритм решения параболического уравнения при граничных условиях второго рода, основанный
на применения методов прямых и решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Непосредственное
применение положений дифференциально-разностного метода к решению задачи приводит к трехдиагональной
матрице перехода, определитель которой имеет нулевое значение. Этот недостаток устраняется привлечением
дополнительного условия – заданием значения искомой функции в одной из точек рассматриваемой области.
При этом задача приобретает смешанные граничные условия первого и второго родов. Для этого случая в
работе сформулированы диагональная и фундаментальная матрицы, с помощью которых, минуя процессов
прямой и обратной прогонки, производится переход к автономным дифференциальным уравнениям.
Представлен результат вычислительного эксперимента смешанной задачи с граничными условиями первого и
второго родов в начале и конце отрезка – области решения задачи.
An algorithm for solving a parabolic equation under boundary conditions of the second type is proposed, based on the application of direct methods and the solution of ordinary differential equations. The direct application of the rules of the differential-difference method to the solution of the problem leads to a tridiagonal transition matrix whose determinant has a zero value. This weakness is eliminated by attracting an additional condition-by setting the value of the desired function at one of the points of the region under consideration. In this case, the problem acquires mixed boundary conditions of the first and second genera. For this case, the authors formulated a diagonal and a fundamental matrix, with the help of which, bypassing the processes of direct and reverse sweep, a transition to autonomous differential equations is made. The result of a computational experiment of a mixed problem with the boundary conditions of the first and second genera at the beginning and the end of the segment, the problem solution area, are presented.
Параболик тенгламани иккинчи жинсли чегаравий шартлар ҳолида ечиш учун тўғри чизиқлар ва оддий дифференциал тенгламаларни ечиш усулларига асосланган алгоритм таклиф этилган. Дифференциал- айирмалар усули ҳолатлари бу масалага бевосита қўлланилганида детерминанти ноль қийматга уч диагоналли ўтиш матрицасига келинади. Ушбу камчилик изланаётган функциянинг ечим соҳасидаги бирор қийматини қўшимча шарт шаклида бериш йўли билан бартараф этилди ва натижада соҳа бошланиши ва тугаши нуқталарига мос биринчи ва иккинчи жинсли шартлар ҳосил қилинди. Бу шартлар билан шакллантирилган масала учун мақолада тўғри ва тескари қувиш усулларисиз автоном дифференциал тенгламаларга ўтиш имконини берадиган диагонал ва фундаментал матрицалар шакллантирилган. Кесма – масала ечим соҳасининг боши ва охирига қўйилган биринчи ва иккинчи жинсли чегаравий шартлар учун сонли тажриба натижаси келтирилган.
An algorithm for solving a parabolic equation under boundary conditions of the second type is proposed, based on the application of direct methods and the solution of ordinary differential equations. The direct application of the rules of the differential-difference method to the solution of the problem leads to a tridiagonal transition matrix whose determinant has a zero value. This weakness is eliminated by attracting an additional condition-by setting the value of the desired function at one of the points of the region under consideration. In this case, the problem acquires mixed boundary conditions of the first and second genera. For this case, the authors formulated a diagonal and a fundamental matrix, with the help of which, bypassing the processes of direct and reverse sweep, a transition to autonomous differential equations is made. The result of a computational experiment of a mixed problem with the boundary conditions of the first and second genera at the beginning and the end of the segment, the problem solution area, are presented.
Параболик тенгламани иккинчи жинсли чегаравий шартлар ҳолида ечиш учун тўғри чизиқлар ва оддий дифференциал тенгламаларни ечиш усулларига асосланган алгоритм таклиф этилган. Дифференциал- айирмалар усули ҳолатлари бу масалага бевосита қўлланилганида детерминанти ноль қийматга уч диагоналли ўтиш матрицасига келинади. Ушбу камчилик изланаётган функциянинг ечим соҳасидаги бирор қийматини қўшимча шарт шаклида бериш йўли билан бартараф этилди ва натижада соҳа бошланиши ва тугаши нуқталарига мос биринчи ва иккинчи жинсли шартлар ҳосил қилинди. Бу шартлар билан шакллантирилган масала учун мақолада тўғри ва тескари қувиш усулларисиз автоном дифференциал тенгламаларга ўтиш имконини берадиган диагонал ва фундаментал матрицалар шакллантирилган. Кесма – масала ечим соҳасининг боши ва охирига қўйилган биринчи ва иккинчи жинсли чегаравий шартлар учун сонли тажриба натижаси келтирилган.